تابع \(\cos(x)\) زوج است (یعنی \(\cos(x)=\cos(-x)\)). از این تقارن استفاده کنید.

پاسخ برابر است با ۱.

اگر f تابعی زوج باشد (یعنی f(x)=f(-x))، آنگاه با استفاده از تقارن، داریم:

$$ I = \int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+e^{-x}} dx = \int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+e^{x}} dx \implies 2I = \int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{1+e^{-x}} + \frac{f(x)}{1+e^{x}} dx = \int_{-a}^{a}f(x) dx $$

که اگر به جای f(x) از cos(x) استفاده کنیم:

$$ 2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) dx = 2 $$

پس جواب برابر با ۱ است.

منبع راه‌حل: https://bmt.berkeley.edu/wp-content/uploads/2022/03/CASP18A.pdf