مساله ۹. دخترها و پسرها

در یک روستا، هر بچه به احتمال یک دوم دختر و به احتمال یک دوم پسر به دنیا می آید. هر خانواده اونقدری بچه دار میشوند تا صاحب یک دختر بشوند. جمعیت دختر ها و پسر های این روستا چه نسبتی خواهد داشت؟
لینک مساله در توویتر: https://twitter.com/Riazi_Cafe/status/1674023738541498368
همونطور که تعداد زیادی از دوستان اشاره کردند نسبت دخترها به پسر ها برابر میمونه.
با این استراتژی، تعداد دخترهای هر خانواده دقیقا برابر با ۱ خواهد بود. تعداد پسر ها برابر است با:
- صفر به احتمال ۱/۲
- یک به احتمال ۱/۴
- دو به احتمال ۱/۸
- ...
اگر این مقدار را برابر با p قرار بدیم، میتوان نشان داد:
\[2 \times p - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...) = p\]
از طرفی، مقدار داخل پرانتز برابر با ۱ هست، پس مقدار p هم برابر با یک خواهد بود.
لینک راهحل در توویتر: https://twitter.com/Riazi_Cafe/status/1674756017924579328