با استراتژی مناسب میشه احتمال بردن ۷۵٪ رو تضمین کرد.

دو نمونه از استراتژی‌ها که این احتمال رو تضمین می‌کنه:

استراتژی ۱. هرکی اگه رنگ کلاه ۲ نفر دیگه یکی بود، رنگ مخالف رو بنویسه، وگرنه خالی بزاره. در اینصورت مگه اینکه هر ۳ کلاه یه رنگ باشه، برنده میشن.

استراتژی ۲.

• نفر اول: اگه ۲ نفر دیگه همرنگ بودن، همون رنگ رو بگو. وگرنه خالی بزار
• نفر دوم و سوم: اگه دو نفر دیگه همرنگ بودن خالی بزار، وگرنه رنگ نفر اول رو بگو.

چرا ۷۵٪ بیشترین احتمال ممکنه؟

هر استراتژی رو می‌تونیم یه تابع P(i, c1, c2, choice) بگیریم که میگه شخص i در صورت دیدن رنگ c1 و c2 (به ترتیب) در سر ۲ نفر دیگه با چه احتمالی choice (آبی یا قرمز یا خالی) رو انتخاب می‌کنه.

میشه نشان داد [*] که جواب بهینه در بین حالت‌هایی که برای i و c1 و c2 خاص یکی از P(i, c1, c2, red) و P(i, c1, c2, blue) و P(i, c1, c2, empty) برابر یک ه و ۲ تای دیگه صفره وجود داره، و پس می‌تونیم در بین استراتژی‌هایی که به صورت F(i, c1, c2) مدل شدن دنبال جواب بگردیم. که این تابع به ما میگه اگه شخص i رنگ c1 و c2 رو به ترتیب رو سر ۲ نفر دیگه دید، چی بنویسه. که برد این تابع red و blue و empty ه.

اگه با یه برنامه کامپیوتری تمام حالت‌های این تابع رو امتحان کنیم (۳ به توان ۱۲ تابع مختلف، چون دامنه تابع ۱۲ حالت داره و برد تابع ۳ حالت) و احتمال برد رو حساب کنیم، به جواب ۷۵٪ می‌رسیم. یه همچنین برنامه‌ای رو اینجا نوشتیم که اگه اجراش کنیم میگه با بهترین استراتژی در ۶ حالت از ۸ حالت برنده میشیم: https://github.com/pykello/riazi_cafe_solutions/blob/main/hats.cpp

[*] فرض کنین P استراتژی بهینه است. برای یک iو c1 و c2 خاص، میشه امید ریاضی امتیاز رو به صورت A * P(i, c1, c2, blue) + B * P(i, c1, c2, red) + C * P(i, c1, c2, empty) + D نوشت. با توجه به اینکه جمع این ۳ احتمال یک ه، و با توجه به اینکه کدوم یکی از A و B و C بیشتره، میشه یکی از این ۳ احتمال رو یک و دوتای دیگه رو صفر گرفت بدون اینکه امید ریاضی امتیاز کم بشه. با تکرار این کار روی همه i و c1 و c2 ها، یه استراتژی بهینه غیراحتمالاتی پیدا می‌کنیم.

لینک راه‌حل در توویتر: https://twitter.com/Riazi_Cafe/status/1675725772886269952