همونطور که تعدادی از دوستان اشاره کردند، با ۲۱ قسمت می‌تونیم:

• ۹ قسمت به اندازه ۱/۱۵
• ۶ قسمت به اندازه ۲/۴۵
• ۶ قسمت به اندازه ۱/۴۵

اگه ۱۵ نفر اومدن:

• ۹ نفر قسمت ۱/۱۵
• ۶ نفر قسمت‌های ۱/۴۵+۲/۴۵

اگه ۹ نفر اومدن:

• ۶ نفر قسمت‌های ۱/۱۵+۲/۴۵
• ۳ نفر قسمت‌های ۱/۱۵+۱/۴۵+۱/۴۵

چرا کمتر از ۲۱ نمی‌شه؟

با برهان خلف اثبات می‌کنیم. فرض کنید که n < 21 تا اندازه قسمت وجود داره که اون اندازه‌ها رو می‌تونیم هم در ۹ جعبه با مجموع ۱/۹ بذاریم و هم در ۱۵ جعبه با مجموع ۱/۱۵.

حالت ۱۵ جعبه رو در نظر بگیرین. چون n حداکثر ۲۰ ه، و تعداد جعبه‌ها ۱۵، حداقل ۱۰ تا از این جعبه‌ها فقط یک قسمت توشون میفته. پس «حداقل» ۱۰ تا از این اندازه قسمت‌ها حتما دقیقا مساوی ۱/۱۵ ه.

حالا حالت ۹ جعبه رو در نظر بگیرین. اگه این n قسمت، که شامل حداقل ۱۰ اندازه قسمت ۱/۱۵ ه، رو بین ۹ جعبه تقسیم کنیم، طبق اصل لانه کبوتری حداقل یکی از جعبه‌ها شامل ۲ قسمت با اندازه ۱/۱۵ خواهد شد، و مجموع قسمت‌های توش حداقل ۱/۱۵+۱/۱۵ که بیشتر از ۱/۹ ه خواهد شد که با شرط مساله (که در ۹ جعبه بتونیم مجموع اندازه دقیقا ۱/۹ بذاریم) متناقضه.

چون به تناقض رسیدیم، فرض اولیه (که با n < 21 اندازه قسمت می‌تونیم) درست نیست.

لینک راه‌حل در توویتر: https://twitter.com/Riazi_Cafe/status/1677936116337635330