راه‌حل ۱

جواب درست برابر هست با ۵۰/۵۱ ساعت یا نزدیک به ۵۸٫۸۲ دقیقه.

چون تمایزی بین مورچه ها وجود ندارد، پس میتوانیم فرض‌ کنیم که زمانی که دو مورچه به هم برخورد میکنند هر کدام مسیر خود را ادامه میدهند. پاسخ مسئله برابر است با بیشترین فاصله یک مورچه تا انتهای چوب که در جهت حرکت آن مورچه قرار دارد.

چون فاصله هر مورچه تا انتهای چوب در جهت حرکت آن یک عدد تصادفی مستقل بین صفر و یک هست، پاسخ سوال برابر است با Max(a1, a2, a3, ...,a50) به طوری که هر ai به صورت تصادفی و مستقل از بازه ۰ تا ۱ انتخاب شده.

که این عدد را می‌توان با انتگرال زیر حساب کرد و برابر با ۵۰/۵۱ است.

\[\int_{0}^{1} x.(50.x^{49}) dx = \frac{50}{51} \]

لینک راه‌حل در توویتر: https://twitter.com/Riazi_Cafe/status/1683723424521396224

راه‌حل ۲

یک روش شهودی برای محاسبه امیدریاضی max(a1, a2, ...,a50) زمانی که هر عدد به صورت تصادفی بین ۰ و ۱ انتخاب میشود

فرض کنید ابتدا ۵۱ نقطه به صورت تصادفی بر روی یک دایره به محیط ۱ قرار میدهید و پس از آن ۵۰ نقطه از این ۵۱ نقطه را به متغیرهای a1 تا a50 به صورت تصادفی متناظر میکنید. نقطه باقیمانده که به هیچ متغیری متناظر نشده را نقطه انتها مینامیم. عدد هر متغیر ai را تعریف میکنیم با فاصله ساعتگرد نقطه متناظر آن متغیر تا نقطه انتها.

میتوان نشان داد که به این صورت، عدد هر متغیر ai تصادفی بین ۰ و ۱ انتخاب شده و همه متغیرها از هم مستقل هستند.

در این صورت بیشترین مقدار عبارت max(a1, a2,...a50) برابر است با یک منهای فاصله پادساعتگرد نقطه انتها تا نقطه پس از آن. از طرفی چون نقطه انتها به صورت تصادفی از بین ۵۱ نقطه انتخاب شده، پس فاصله نقطه انتها تا نقطه بعدی (پادساعتگرد) برابر است با ۱/۵۱. پس مقدار عبارت بالا برابر است با ۵۰/۵۱.

لینک راه‌حل در توویتر: https://twitter.com/Riazi_Cafe/status/1683959598485577728