جواب مسئله برای حالت 1234 نفر برابر است با 421 و برای حالت 12345678987654321 نفر برابر است با6676959465826659.توضیحات بیشتر در زیر آمده است:

این مسئله به نام مسئله جوزفس شناخته شده است. فرض کنید \(n\) تعداد افراد دور دایره باشد و \(m\) بزرگترین توان 2 باشد که از \(n\) بزرگتر نیست. قضیه جوزفس نشان می دهد که پاسخ مسئله برابر است با \(2(n-m)+1\).

قضیه. فرض کنید \(n \geq 1\) تعداد افراد مسئله جوزفس باشد و \(m\) بزرگترین توان 2 باشد که از \(n\) بزرگتر نیست. پاسخ مشکل جوزفوس با \(n\) فرد برابر است با \(2(n-m)+1\)

اثبات. ما قضیه را با استفاده از استقرا بر روی \(n\) اثبات می کنیم. حالت پایه زمانی است که \(n=1\) حکم استقرا برای این حالت برقرار است (پاسخ برای \(n=1\) برابر است با 1 که مطابق فرمول بندی است).

برای گام استقرا، دو حالت فرد و زوج \(n\) را جداگانه بررسی میکنیم. در هر دو مورد، فرض کنید \(l = n-m\):

• اگر \(n\) زوج است، فرض کنید \(m'\) بزرگترین توان دو باشد که از \(n/2\) بیشتر نیست و \(l' = n/2-m'\) باشد. پس از یک بار دور زدن دایره، همه افراد دارای شماره زوج را حذف می کنیم و سپس با \(n/2\) افراد باقیمانده که فقط برچسب فرد دارند، دوباره شروع می کنیم. با توجه به فرض استقرا، پاسخ برای افراد باقیمانده \(2l'+1\)امین نفر خواهد بود که شماره آن برابر است با \(4l'+3\) از آنجایی که \(l' = l/2\) است، پس شماره آخرین فرد باقیمانده برابر با \(2l+1\) خواهد بود.

• اگر \(n\) فرد باشد، فرض کنید \(m'\) بزرگترین توان دو باشد که از \((n-1)/2\) بزرگتر نیست و \(l' = (n-1)/2 - m'\) باشد. پس از یک بار دور زدن دایره، همه افراد دارای شماره زوج را حذف می کنیم و سپس با \((n+1)/2\) فرد باقیمانده که فقط برچسب های فرد دارند، دوباره شروع می کنیم. همچنین از آنجایی که افراد با برچسب زوج حذف را می کنیم، آخرین نفر حذف نمی شود و نفر بعدی که حذف می شود، نفر شماره 1 است بعد از این برای هر \(i\) در محدوده \([1, (n-1)/2]\)یک فرد با شماره \(2i-1\)داریم و . بر اساس فرضیه استقرا، آخرین فردی که در بین این \((n-1)/2\) باقی می ماند، \(2l'+1\)امین فردی خواهد بود که شماره آن برابر است با \(4l'+3\). توجه داشته باشید که \(l' = (l-1)/2\) و بنابراین \(4l'+3 = 2l+1\)برقرار است که اثبات را کامل می کند.