راه‌حل ۱

پاسخ تقریبا برابر است با ۰٫۲۳۱.

فرض کنید مختصات طبقه صفر رو به بالا را 0 بگیریم و طبقه صفر رو به پایین را 30. پس یک حرکت کامل آسانسور حرکت از 0 تا 30 است.

متغیر تصادفی مکان آسانسور اول هنگام رسیدن هشمت به طبقه ۱۳ را X و متغیر تصادفی مکان آسانسور دوم را Y در نظر می‌گیریم. چون هر دو یکنواخت توزیع شده‌اند، تابع چگالی توزیع آن‌ها برابر است با:

$$ \begin{aligned} f_X(x) = \left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{30} \quad &0 < x < 30 \\ &0 \quad &\text{otherwise} \end{aligned} \right. \\ \\ f_Y(y) = \left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{30} \quad &0 < y < 30 \\ &0 \quad &\text{otherwise} \end{aligned} \right. \end{aligned} $$

و بدلیل اینکه مکان دو آسانسور در اول روز مستقل از هم بود و سرعت هر دو برابر است، دانستن مکان یکی در هر لحظه بدون هر اطلاعات دیگر توزیع احتمال مکان آن یکی را تغییر نمی‌دهد، و تابع چگالی توزیع همزمان مکان آسانسورها در لحظه‌ی رسیدن هشمت به آسانسور طبقه ۱۳ برابر است با:

$$ f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) . f_Y(y) = \left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{900}\ \quad &0 < x,y < 30 \\ &0 \quad &\text{otherwise} \end{aligned} \right. $$

۳ حالت داریم که اولین آسانسوری که به طبقه ۱۳ میرسد به سمت پایین باشد:

1. $13 < x < 17$ و $13 < y < 17$. احتمال این حالت برابر است $16/900$.
2. $13 < x < 17$ و یکی از دو حالت: $0 < y < 13 - (17 - x)$ و $y > 17$. احتمال این حالت برابر است با: $$\int_{13 < x < 17}(\int_{17 < y < 30} \frac{1}{900} dy + \int_{0 < y < x - 4} \frac{1}{900} dy) dx = \frac{8}{75}$$
3. $13 < y < 17$ و یکی از دو حالت: $0 < x < 13 - (17 - y)$ و $x > 17$. احتمال این حالت هم شبیه حالت ۲ است.

مجموع این ۳ احتمال می‌شود $\frac{52}{225}$.

راه‌حل ۲

بازه طبقه ۹ رو به بالا تا طبقه ۱۵ و سپس رو به پایین تا طبقه ۱۳ را در نظر بگیرید. اگر آسانسوری در یک نقطه تصادفی در این بازه باشد، وقتی به طبقه ۱۳ می‌رسد به احتمال ۰٫۵ رو به بالا و به احتمال ۰٫۵ رو به پایین است.

اگر آسانسوری در این بازه باشد، حتما زودتر از آسانسورهای خارج از این بازه به طبقه ۱۳ میرسد و آسانسورهای خارج از این بازه را می‌توانیم نادیده بگیریم. اگر هیچ آسانسوری در این بازه نباشد، اولین آسانسوری که به طبقه ۱۳ می‌رسد رو به بالاست.

احتمال اینکه حداقل یک آسانسور در این بازه باشد، برابر است با $(1-(22/30)^2)$. به علت تقارن، اولین آسانسوری از این بازه که به طبقه ۱۳ می‌رسد به احتمال ۰٫۵ رو به پایین است. پس پاسخ برابر است با:

$$ \frac{1}{2}(1-(22/30)^2) = \frac{52}{225} $$

منبع سوال و منبع راه‌حل دوم این فایل از درس احتمال دانشگاه کالیفرنیا در دیویس بود:

https://www.math.ucdavis.edu/~gravner/MAT135A/resources/chpr.pdf