پاسخ مساله ۱/۴۹ است.

در واقع پس از n≥2 پرتاب، احتمال دقیقا 0 یا $n$ پرتاب موفق برابر با 0، و دقیقا $k$ پرتاب موفق بطوریکه $k$ بزرگتر از 0 و کمتر از $n$ باشد، برابر با $\frac{1}{n-1}‏$‎‎ است.

با استقراء اثبات می‌کنیم:

حالت پایه. برای n=2، طبق شرایط گفته شده در صورت مساله، برقرار است.

گام استقراء. فرض کنیم قضیه برای $n‏$‎ پرتاب (با شرط $n≥2‏$‎) برقرار باشد. یعنی اگر احتمال دقیقا k گل در n پرتاب را با p(k, n) نمایش دهیم، فرض استقراء این است که $p(0,n) = p(n, n) = 0‏$‎ و برای ‏$‎0<k<n‏$‎ داریم ‏$‎p(k,n)=1/(n-1)‏$‎. حال قضیه را برای $n+1$ پرتاب بررسی می‌کنیم و $p(k,n+1)$ را حساب می‌کنیم.

• برای k=0 تنها حالت این است که در n پرتاب اول صفر گل بزنیم و پرتاب n+1 ام ناموفق باشد. پس: $p(0,n+1) = p(0, n) \cdot 1.0 = 0$.

• برای k=n+1 تنها حالت این است که در n پرتاب اول n گل بزنیم و پرتاب n+1 ام موفق باشد. پس: $p(n+1,n+1) = p(n, n) \cdot 1.0 = 0$

• برای k=1 یا باید در n پرتاب اول صفر گل بزنیم (احتمال 0) و پرتاب n+1 ام موفق باشد (احتمال $\frac{0}{n}$)، یا اینکه در n پرتاب اول یک گل بزنیم (احتمال $\frac{1}{n-1}$) و پرتاب n+1 ناموفق باشد (احتمال $\frac{n-1}{n}$). پس: $$ \begin{aligned} ‎p(1,n+1) &= p(0, n) \cdot \frac{0}{n} + p(1, n) \cdot \frac{n-1}{n} \\ &= 0 + \frac{1}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n} \\ &= \frac{1}{n} \end{aligned} $$

• برای k=n یا باید در n پرتاب اول n-1 گل بزنیم (احتمال $\frac{1}{n-1}$) و پرتاب n+1 ام موفق باشد (احتمال $\frac{n-1}{n}$)، یا اینکه در n پرتاب اول n گل بزنیم (احتمال 0) و پرتاب n+1 ناموفق باشد (احتمال $\frac{n-n}{n}$). پس:

$$ \begin{aligned} p(n,n+1) &= p(n-1, n) \cdot \frac{n-1}{n} + p(n, n) \cdot \frac{n-n}{n} \\ &= \frac{1}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n} + 0 \\ &= \frac{1}{n} \end{aligned} $$

• برای ‏$‎1<k<n‏$‎ یا باید در n پرتاب اول k-1 گل بزنیم (احتمال $\frac{1}{n-1}$) و پرتاب n+1 ام موفق باشد (احتمال $\frac{k-1}{n}$)، یا اینکه در n پرتاب اول k گل بزنیم (احتمال $\frac{1}{n-1}$) و پرتاب n+1 ناموفق باشد (احتمال $\frac{n-k}{n}$). پس: $$ \begin{aligned} p(k,n+1) &= p(k-1,n) \cdot \frac{k-1}{n} + p(k,n) \cdot \frac{n-k}{n} \\ &= \frac{1}{n-1} \cdot \frac{k-1}{n} + \frac{1}{n-1} \cdot \frac{n-k}{n} \\ &= \frac{1}{n} \end{aligned} $$

پس قضیه برای n+1 نیز برقرار است و در نتیجه برای تمام اعداد طبیعی بزرگتر یا مساوی ۲ برقرار است.