اگر به محض اینکه امتیاز بیشتر از $\sqrt{2} - 1 \approx 0.4142$ ‎ شد بازی را تمام کنیم، امید ریاضی بازی تقریبا $0.6268$ خواهد شد.

فرض کنید امتیاز فعلی $q$ است و می‌خواهیم تصمیم بگیریم آیا افزودن یک عدد تصادفی دیگر به صرفه است یا نه. اگر عدد تصادفی شده بین $0$ و $1-q$ باشد، آنگاه امتیاز ما در مرحله‌ی بعد بیشتر از الان خواهد بود، وگرنه صفر خواهد شد. پس متوسط امتیاز با یک حرکت خواهد شد:

$$ \int_0^{1-q} (q + x) \cdot dx = \frac{1-q^2}{2} $$

و برای اینکه افزودن یک عدد تصادفی دیگر به صرفه باشد، باید این مقدار بیشتر از $q$ باشد. پس:

$$ \frac{1-q^2}{2} > q \implies q^2+2q-1 < 0 \implies q < \sqrt{2}-1 $$

پس استراتژی‌ای که انتخاب می‌کنیم این است که بلافاصله پس از اینکه X عدد $\sqrt{2} - 1$ را رد کرد بازی را تمام می‌کنیم (برای دقیقا $\sqrt{2} - 1$ امید ریاضی امتیاز در صورت ادامه دادن و ندادن برابر است. در ادامه فرض می‌کنیم در این حالت نیز بازی را ادامه می‌دهیم و عدد تصادفی جدید تولید می‌کنیم).

حال می‌خواهیم امیدریاضی امتیاز با استراتژی بالا وقتی از $x \le \sqrt{2} - 1‏$‎ شروع کنیم را حساب کنیم. این مقدار را با $f(x)$ نمایش می‌دهیم. در اینصورت ‏$‎\sqrt{2} - 1‏$‎ را رد نکرده‌ایم و باید عدد تصادفی تولید کنیم. با شروع از $x$ و تولید عدد تصادفی جدید، عددمان بطور یکنواخت به عدد جدید $t$ در بازه‌ی $[x, 1+x]$ افزایش خواهد یافت. سه حالت خواهیم داشت:

• اگر مقدار جدید $t$ کمتر از یا مساوی با $\sqrt{2} - 1‏$‎ باشد، طبق استراتژی بالا باید بازی را ادامه دهیم پس در این حالت امیدریاضی امتیازمان با شروع از $t$ برابر با $f(t)$ خواهد شد.
• اگر مقدار جدید $t$ بین $\sqrt{2} - 1$ و $1$ باشد، طبق استراتژی بالا بازی را تمام خواهیم کرد و امتیازمان $t$ خواهد شد.
• اگر مقدار جدید $t$ بیشتر از $1$ باشد، بازی تمام خواهد شد و امتیازمان صفر خواهد شد.

پس می‌توانیم تابع $f(x)$ به شرط $x \le \sqrt{2} - 1‏$‎ را به صورت رابطه‌ی بازگشتی زیر بنویسیم:

$$ f(x) = \int_x^{\sqrt{2} - 1} f(t) \cdot dt + \int_{\sqrt{2} - 1}^1 t \cdot dt + \int_1^{1+x} 0 \cdot dt $$

که اگر از هر دو طرف مشتق بگیریم معادله‌ی دیفرانسیل $f'(x) + f(x) = 0‏$‎ بدست می‌آید. همچنین برای $x=\sqrt{2} - 1‏$‎ طول بازه‌ی انتگرال اول در رابطه‌ی بالا صفر خواهد شد و خواهیم داشت ‏$‎f(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} - 1‏$.‎ با حل این معادله‌ی دیفرانسیل با شرط مرزی ‏$‎f(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} - 1‏$ تابع $f$ زیر را بدست می‌آوریم:

$$ f(x) = \exp(-x + \log(\sqrt{2} - 1) + \sqrt{2} - 1) $$

و امید ریاضی بازی با شروع از امتیاز صفر برابر با $f(0) \simeq 0.6268‏$‎ است.