راه‌حل مثلثاتی تابع F ( $F(u,v) = (u \cdot \cos(v), u \cdot \sin(v), 0.5 v)$). با توجه به اینکه ‏$‎z=0.5v$ بنابراین در تابع معکوس مقدار مختصات ‏$‎v‏$‎ برابر با ‏$‎2z‏$‎ خواهد بود. برای یافتن مقدار مختصات ‏$‎u‏$‎ در حاصل تابع معکوس از اتحاد مثلثاتی ‏$‎\sin^2(v)+\cos^2(v)=1‏$‎ استفاده می‌کنیم:

‏$$ \begin{aligned} u &= u \cdot (\sin^2(v) + \cos^2(v))\\ &= (u \cdot \sin(v)) \cdot \sin(v) + (u \cdot \cos(v)) \cdot \cos(v) \\ &= y \cdot \sin(2z) + x \cdot \cos(2z) \end{aligned} $$

و بنابراین ‏$‎F^{-1}(x,y,z) = (y \cdot \sin(2z) + x \cdot \cos(2z), 2z)‏$‎.

راه‌حل مثلثاتی تابع G ( ‏‏$‎G(u,v) = (u \cdot \cos(1+v), u \cdot \sin(2+v), 0.5 v)‏$‎). مانند تابع قبل، $v=2z$. برای پیدا کردن $u$ ابتدا با بسط $y = u \cdot \sin(2+v)$ عبارتی معادل $u \cdot \sin(1+v)$ پیدا می‌کنیم:

$$ \begin{aligned} y &= u \cdot \sin(2+v) \\ &= u \cdot \sin(1) \cdot \cos(1+v) + u \cdot \cos(1) \cdot \sin(1+v) \\ &= x \cdot \sin(1) + u \cdot \cos(1) \cdot \sin(1+v) \end{aligned} $$ که نتیجه می‌دهد:

$$ u \cdot \sin(1+v) = \frac{y - x \cdot \sin(1)}{\cos(1)} $$

حال مثل مورد قبل می‌توانیم از اتحاد مثلثاتی ‏$‎\sin^2(1+v)+\cos^2(1+v)=1‏$ استفاده کنیم:

$$ \begin{aligned} u &= u \cdot (\sin^2(1+v) + \cos^2(1+v))\\ &= (u \cdot \sin(1+v)) \cdot \sin(1+v) + (u \cdot \cos(1+v)) \cdot \cos(1+v) \\ &= \frac{y - x \cdot \sin(1)}{\cos(1)} \cdot \sin(1+2z) + x \cdot \cos(1+2z) \end{aligned} $$

راه‌حل جبر خطی. در هر دو مورد تابع به صورت $(u \cdot f_1(v), u \cdot f_2(v), 0.5v)$ است. همچنین با استفاده از ضرب داخلی دو بردار $(x,y)‏$‎ و ‏$‎(f_1(v), f_2(v))$ داریم:

$$ \begin{aligned} (x, y) \cdot (f_1(v), f_2(v)) &= (u \cdot f_1(v), u \cdot f_2(v)) \cdot (f_1(v), f_2(v)) \\ &= u \cdot ((f_1(v))^2 + (f_2(v))^2) \end{aligned} $$ و بنابراین:

$$ u = \frac{x \cdot f_1(2z) + y \cdot f_2(2z)}{(f_1(2z))^2 + (f_2(2z))^2} $$

که نتیجه می‌دهد:

$$ \begin{aligned} F^{-1}(x,y,z) &= (x \cdot \cos(2z) + y \cdot \sin(2z), 2z) \\ G^{-1}(x,y,z) &= (\frac{x \cdot \cos(1 + 2z) + y \cdot \sin(2 + 2z)}{\cos^2(1 + 2z) + \sin^2(2 + 2z)}, 2z) \end{aligned} $$

دقت کنید که در $G^{-1}$ مخرج هرگز صفر نمی‌شود زیرا ‏$‎\cos(1+2z)‏$‎ و ‏$‎\sin(2+2z)‏$‎‎ همزمان نمی‌توانند صفر شوند. در واقع در حالت کلی، اگر $f_1(2z)‏$‎ و $f_2(2z)‏$‎ همزمان بتوانند صفر شوند، آنگاه تابع یک‌به‌یک نخواهد بود و معکوس نخواهد داشت.