کمترین و بیشترین همبستگی بین $a$ و $c$ به ترتیب $-0.5$ و $1$ است.

با توجه به اینکه همبستگی دو متغیر تصادفی با افزودن عدد ثابت به متغیرها ثابت می‌ماند ($\text{corr}(X+a,Y+b)=\text{corr}(X,Y)$)، برای سادگی فرض می‌کنیم هر سه متغیر تصادفی $a$ و $b$ و $c$ میانگین 0 دارند.

در یک فضای احتمال، متغیرهای تصادفی با میانگین صفر و واریانس متناهی یک فضای ضرب داخلی (فضای برداری با عمل ضرب داخلی مشخص) تشکیل می‌دهند که ضرب‌داخلی دو متغیر تصادفی برابر با ‏$‎\text{cov}(X,Y)‏$‎ است. برای آشنایی با خواصی که برای تشکیل فضای برداری با ضرب‌داخلی لازم است، به تعریف فضای برداری در صفحه‌ی ویکی‌پدیای Vector Space و تعریف ضرب داخلی در صفحه‌ی ویکی‌پدیای Inner Product Space مراجعه کنید.

در یک فضای ضرب داخلی، زاویه‌ی بین دو بردار به صورت زیر تعریف می‌شود (که ‏$‎\langle x,y \rangle$ نماد ضرب‌داخلی است):

$$ \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{|x|\cdot|y|}} $$

که $|x| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$ . بنابراین در فضای متغیرهای تصادفی با میانگین صفر و واریانس متناهی، همبستگی برابر است با کسینوس زاویه‌ی بین دو متغیر تصادفی در فضای ضرب داخلی:

$$ \text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{cov}(X,X) \cdot \text{cov}(Y,Y)}} = \cos(\angle (X,Y)) $$

حال در مساله‌ی اصلی، همبستگی بین $a$ و هر کدام از $b$ و $c$ برابر با $\frac{1}{2}$ است. این به این معناست که در فضای ضرب داخلی زاویه‌‌ی بین $a$ و هر یک از $b$ و $c$ برابر با 60± درجه است. بنابراین، زاویه‌ی بین $b$ و $c$ می‌تواند هر مقداری بین $-120$ تا $120$ درجه باشد. کمترین کسینوس زاویه‌ها در این بازه $-0.5$ (برای $-120$ و $120$ درجه) و بیشترین کسینوس زاویه‌ها در این بازه $1$ است زمانی که زاویه برابر با 0 درجه باشد.