پاسخ $1+2\sqrt{2}$ است.

اگر عبارت زیر رادیکال سمت چپ را بسط دهیم، عبارت زیر به دست می‌آید:

$$2\cdot \sqrt{3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}}-\sqrt{(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})}$$

که با قرار دادن $a=x/y$ و $b=y/z$ عبارت را می‌توان از ۳ متغیر به ۲ متغیر تقلیل داد.

$$f(a,b)=2\cdot \sqrt{3+a+a\cdot b+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{a\cdot b}+\frac{1}{b}}-\sqrt{(1+a)(1+b)}$$

در اینجا به نظر می‌رسد با توجه به علت تقارن بین $a$ و $b$ (یعنی $f(a,b)=f(b,a)$) می‌توان فرض کرد که مینیمم در حالت $a=b$ رخ می‌دهد. ولی همچنین استدلالی لزوما درست نیست. به عنوان مثال، $g(a,b)=[(a-1{)}^2+(b-2{)}^2]\cdot [(a-2{)}^2+(b-1{)}^2]$ نیز متقارن است ولی مینیمم آن در $(1,2)$ و $(2,1)$ رخ می‌دهد. برای اینکه بتوانیم فرض کنیم مینیمم در $a=b$ رخ می‌دهد، باید سایر خواص تابع را نیز بررسی کنیم.

پس فعلا این فرض را نمی‌کنیم و با ساده‌سازی $f$ به شکل زیر ادامه می‌دهیم:

$$f(a,b)=2\cdot \sqrt{(1+a+\frac{1}{b})(1+b+\frac{1}{a})}-\sqrt{(1+a)(1+b)}$$

نابرابری کوشی-شوارتز می‌گوید که به ازای هر دو بردار دلخواه $u$ و $v$، قدر مطلق ضرب‌داخلی آن‌ها کمتر مساوی ضرب اندازه‌ی آن‌هاست: $|u\cdot v|\le ||u||\cdot ||v||$ . اگر $u$ و $v$ را به صورت زیر انتخاب کنیم:

$$\begin{array}{rl}u& =(\frac{1}{\sqrt{b}},\sqrt{1+a})\\ v& =(\frac{1}{\sqrt{a}},\sqrt{1+b})\end{array}$$

آنگاه ضرب‌داخلی آن‌ها و اندازه‌ی آن‌ها به صورت زیر خواهد بود:

$$\begin{array}{rl}u\cdot v& =\frac{1}{\sqrt{b}}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{1+a}\cdot \sqrt{1+b}=\frac{1}{\sqrt{a\cdot b}}+\sqrt{(1+a)(1+b)}\\ ||u||& =\sqrt{{\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)}^2+{\left(\sqrt{1+a}\right)}^2}=\sqrt{1+a+\frac{1}{b}}\\ ||v||& =\sqrt{{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2+{\left(\sqrt{1+b}\right)}^2}=\sqrt{1+b+\frac{1}{a}}\end{array}$$

بنابراین طبق نابرابری کوشی-شوارتز داریم:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{a\cdot b}}+\sqrt{(1+a)(1+b)}\le \sqrt{(1+a+\frac{1}{b})(1+b+\frac{1}{a})}\end{array}\end{array}$$

حال اگر تابع $e$ را به شکل زیر تعریف کنیم:

$$\begin{array}{rl}e(a,b)& =2\cdot (\frac{1}{\sqrt{a\cdot b}}+\sqrt{(1+a)(1+b)})-\sqrt{(1+a)(1+b)}\\ & =\frac{2}{\sqrt{a\cdot b}}+\sqrt{(1+a)(1+b)}\end{array}$$

آنگاه طبق نابرابری ۱ خواهیم داشت $f(a,b)\ge e(a,b)$.

همچنین طبق نابرابری میانگین حسابی-هندسی داریم به ازای هر دوعدد نامنفی $x$ و $y$ میانگین حسابی بزرگتر یا مساوی میانگین هندسی است: $\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{x\cdot y}$. پس:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{r}(1+a)(1+b)=1+a\cdot b+a+b\ge 1+a\cdot b+2\sqrt{a\cdot b}=(1+\sqrt{a\cdot b}{)}^2\end{array}\end{array}$$

حال اگر تابع $d$ را به شکل زیر تعریف کنیم:

$$d(a,b)=\frac{2}{\sqrt{a\cdot b}}+1+\sqrt{a\cdot b}$$

طبق نابرابری ۲ خواهیم داشت $e(a,b)\ge d(a,b)$ و در نتیجه $f(a,b)\ge d(a,b)$. پس مقدار مینیمم $f$ بزرگتر یا مساوی مینیمم تابع بسیار ساده‌تر $d$ است.

حال با قرار دادن $t=\sqrt{a\cdot b}$ و بررسی مشتقات $d$، مقدار مینیمم آن در $\sqrt{a\cdot b}=t=\sqrt{2}$ برابر با $1+2\sqrt{2}$ بدست می‌آید. همچنین $f(\sqrt{2},\sqrt{2})=1+2\sqrt{2}$، و چون مقدار مینیمم $f$ بزرگتر یا مساوی مقدار مینیمم $d$ است، پس $1+2\sqrt{2}$ مقدار مینیمم $f$ نیز است.