پاسخ $1 + 2 \sqrt{2}$ است.

اگر عبارت زیر رادیکال سمت چپ را بسط دهیم، عبارت زیر به دست می‌آید:

$$ 2 \cdot \sqrt{3 + \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y}} - \sqrt{\left(1 + \frac{x}{y} \right) \left(1 + \frac{y}{z} \right)} $$

که با قرار دادن $a = x/y$ و $b = y/z$ عبارت را می‌توان از ۳ متغیر به ۲ متغیر تقلیل داد.

$$ f(a, b) = 2 \cdot \sqrt{3 + a + a \cdot b + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{a \cdot b} + \frac{1}{b}} - \sqrt{(1 + a) (1 + b)} $$

در اینجا به نظر می‌رسد با توجه به علت تقارن بین $a$ و $b$ (یعنی $f(a,b)=f(b,a)$) می‌توان فرض کرد که مینیمم در حالت $a=b$ رخ می‌دهد. ولی همچنین استدلالی لزوما درست نیست. به عنوان مثال، $g(a,b)=[(a-1)^2+(b-2)^2]\cdot[(a-2)^2+(b-1)^2]$ نیز متقارن است ولی مینیمم آن در $(1,2)$ و $(2,1)$ رخ می‌دهد. برای اینکه بتوانیم فرض کنیم مینیمم در $a=b$ رخ می‌دهد، باید سایر خواص تابع را نیز بررسی کنیم.

پس فعلا این فرض را نمی‌کنیم و با ساده‌سازی $f$ به شکل زیر ادامه می‌دهیم:

$$ f(a, b) = 2 \cdot \sqrt{\left(1 + a + \frac{1}{b}\right)\left(1 + b + \frac{1}{a}\right)} - \sqrt{(1 + a) (1 + b)} $$

نابرابری کوشی-شوارتز می‌گوید که به ازای هر دو بردار دلخواه $u$ و $v$، قدر مطلق ضرب‌داخلی آن‌ها کمتر مساوی ضرب اندازه‌ی آن‌هاست: $|u \cdot v| \leq ||u|| \cdot ||v||$ . اگر $u$ و $v$ را به صورت زیر انتخاب کنیم:

$$ \begin{aligned} u &= \left(\frac{1}{\sqrt{b}}, \sqrt{1+a}\right) \\ v &= \left(\frac{1}{\sqrt{a}}, \sqrt{1+b}\right) \end{aligned} $$

آنگاه ضرب‌داخلی آن‌ها و اندازه‌ی آن‌ها به صورت زیر خواهد بود:

$$ \begin{aligned} u \cdot v &= \frac{1}{\sqrt{b}} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} + \sqrt{1+a} \cdot \sqrt{1+b} = \frac{1}{\sqrt{a \cdot b}} + \sqrt{(1 + a)(1 + b)} \\ ||u|| &= \sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{b}} \right)^2 + \left( \sqrt{1+a} \right)^2} = \sqrt{1 + a + \frac{1}{b}} \\ ||v|| &= \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 + \left(\sqrt{1+b}\right)^2} = \sqrt{1 + b + \frac{1}{a}} \end{aligned} $$

بنابراین طبق نابرابری کوشی-شوارتز داریم:

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{a \cdot b}} + \sqrt{(1 + a)(1 + b)} \leq \sqrt{\left(1 + a + \frac{1}{b}\right)\left(1 + b + \frac{1}{a}\right)} \end{aligned} \tag{1} $$

حال اگر تابع $e$ را به شکل زیر تعریف کنیم:

$$ \begin{aligned} e(a, b) &= 2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{a \cdot b}} + \sqrt{(1+a)(1+b)} \right) - \sqrt{(1+a)(1+b)} \\ &= \frac{2}{\sqrt{a \cdot b}} + \sqrt{(1+a)(1+b)} \end{aligned} $$

آنگاه طبق نابرابری ۱ خواهیم داشت $f(a,b) \geq e(a, b)$.

همچنین طبق نابرابری میانگین حسابی-هندسی داریم به ازای هر دوعدد نامنفی $x$ و $y$ میانگین حسابی بزرگتر یا مساوی میانگین هندسی است: $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{x\cdot y}$. پس:

$$ \begin{aligned} (1+a)(1+b) = 1 + a \cdot b + a + b \geq 1 + a \cdot b + 2\sqrt{a \cdot b} = (1 + \sqrt{a \cdot b})^2 \end{aligned} \tag{2} $$

حال اگر تابع $d$ را به شکل زیر تعریف کنیم:

$$ d(a, b) = \frac{2}{\sqrt{a \cdot b}} + 1 + \sqrt{a \cdot b} $$

طبق نابرابری ۲ خواهیم داشت $e(a, b) \geq d(a, b)$ و در نتیجه $f(a, b) \geq d(a, b)$. پس مقدار مینیمم $f$ بزرگتر یا مساوی مینیمم تابع بسیار ساده‌تر $d$ است.

حال با قرار دادن $t=\sqrt{a \cdot b}$ و بررسی مشتقات $d$، مقدار مینیمم آن در $\sqrt{a \cdot b} = t = \sqrt{2}$ برابر با $1 + 2 \sqrt{2}$ بدست می‌آید. همچنین $f(\sqrt{2}, \sqrt{2}) = 1 + 2 \sqrt{2}$، و چون مقدار مینیمم $f$ بزرگتر یا مساوی مقدار مینیمم $d$ است، پس $1 + 2 \sqrt{2}$ مقدار مینیمم $f$ نیز است.