فرض کنیم قابل تجزیه به چندجمله‌ای‌های با درجه‌ی کمتر و با ضرایب صحیح است. با توجه با مشاهده‌های زیر:

• تجزیه به بیش از دو چندجمله‌ای با ضرایب صحیح را می‌توانیم به تجزیه به دو چندجمله‌ای با ضرایب صحیح تقلیل دهیم.
• به علت $1$ بودن ضریب $x^4$ در چندجمله‌ای اصلی، در صورت تجزیه به ۲ چندجمله‌ای با ضرایب صحیح، حاصل ضرب ضریب بزرگترین عوامل این چند‌جمله‌ای‌ها $1$ است (یعنی یا هر دو $1$ یا هر دو $-1$) و بدون از دست دادن کلیت، هر دو را می‌توانیم $1$ در نظر بگیریم.

آنگاه حداقل یکی از دو حالت زیر برقرار است:

• قابل تجزیه به یک چندجمله‌ای درجه ۱ و یک چندجمله‌ای درجه ۳، با ضرایب صحیح: $(x+a)(x^3+bx^2+cx+d)$.
• قابل تجزیه به دو چندجمله‌ای درجه ۲ با ضرایب صحیح: $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$.

حالت‌ها را بررسی می‌کنیم:

حالت اول.

$$ x^4 + 26 x^3 + 52 x^2 + 78 x + 1989 = (x+a)(x^3+bx^2+cx+d) \implies \begin{cases} a + b = 26 \\ ab + c = 52 \\ ac + d = 78 \\ ad = 1989 \\ \end{cases} $$

در این صورت چون $1989=3^2\cdot 13 \cdot 17$ ، پس با توجه به $ad = 1989$:

• یا $13 \mid a$ و $13 \nmid d$، که آنگاه چون $78$ نیز مضرب $13$ است، پس $ac + d = 78$ نمی‌تواند برقرار باشد و به تناقض میرسیم.
• یا $13 \nmid a$ و $13 \mid d$، آنگاه از $ac + d = 78$ نتیجه می‌گیریم $13 \mid c$ و آنگاه از $ab + c = 52$ نتیجه می‌گیریم $13 \mid b$. و بالاخره $a + b$ نمی‌تواند مضرب $13$ باشد و $a + b = 26$ نمی‌تواند برقرار باشد و به تناقض می‌رسیم.

حالت دوم. $$ x^4 + 26 x^3 + 52 x^2 + 78 x + 1989 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \implies \begin{cases} a + c = 26 \\ ac + b + d = 52 \\ ad + bc = 78 \\ bd = 1989 \\ \end{cases} $$ در این صورت چون $1989=3^2\cdot 13 \cdot 17$ ، پس با توجه به $bd = 1989$:

• یا $13 \mid b$ و $13 \nmid d$، که آنگاه از $ad + bc = 78$ نتیجه می‌گیریم $13 \mid a$، و آنگاه $ac + b + d$ نمی‌تواند مضرب $13$ باشد و $ac + b + d = 52$ نمی‌تواند برقرار باشد و به تناقض می‌رسیم.
• یا $13 \nmid b$ و $13 \mid d$، که آنگاه از $ad + bc = 78$ نتیجه می‌گیریم $13 \mid c$، و آنگاه $ac + b + d$ نمی‌تواند مضرب $13$ باشد و $ac + b + d = 52$ نمی‌تواند برقرار باشد و به تناقض می‌رسیم.

پس با فرض قابل تجزیه بودن چندجمله‌ای اصلی به چندجمله‌ای‌های کوچکتر با ضرایب صحیح، در همه‌ی حالت‌ها به تناقض می رسیم و در نتیجه چندجمله‌ای اصلی به چندجمله‌ای‌های کوچکتر با ضرایب صحیح قابل تجزیه نیست.